进制与零：无即是有

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进制的进制

生活中有许多种进制在共同起作用，例如，数学上的十进制、计算机中的二进制、八进制和十六进制、计时的60进制、24进制和7进制。

怎么才能快速地知道1111所对应的具体的进制数值呢？例如，1111对应的二进制、八进制和十六进制是多少？它对应的60进制、24进制和7进制又分别是多少？

因此，为了解决这个问题，科学家们在进制的基础上做了更进一步的抽象。

按照这种方式，1111对应的二进制、八进制和十六进制和六十进制就可以这样来表示。

因此，进制计数法也被称为按位计数法。

0在数学上的意义就是没有，但这种没有需要用精确且没有歧义的符号来代表。

例如，如果把101写成1 1，或者将 $10^{0}$ 写成10，不仅很别扭，而且有歧义，搞不好1 1还一不小心被混淆成了11。

所以，0的作用不仅在于替代没有，更重要的是它可以占位：表示某个数位上没有数字。

例如，101就表示它只有百位数、个位数而没有十位数。

这是一种占位的例子。

如果按照没有来算，那 $10^{0}$ 该表示什么数呢？

从直觉上来说， $10^{0}$ 应该等于0，但如果观察上面幂指数的规律，就可以发现指数每减1，数值就变成了之前的十分之一。

所以， $10^{0}$ 的值也就可以因此确定了，并不是没有。

按照这个规律再继续延伸一下，就可以知道当指数为负数时的结果是什么了。

综合按位计数法与0的意义，就可以得到指数法则。

古人用绳结计数，但要记住的事情多了以后，就有点难于表示了。例如，下面两个绳结就不能一眼看出它们的大小（图没画好）。

所以，聪明的先辈们就发明了按位计数法，将大量的数字归纳为一个个小单元，这个小单元就叫位。

以此类推，就有了百位、千位和万位。

但即使这样仍然不能解决数字越来越大的问题。

例如，1111111111111111111和111111111111111111就无法一眼看出它们哪个大，这又回到了绳结比大小的问题。

所以，科学家们想到了指数法则。

好了，这下谁大谁小一目了然了。

按照这种思路，再大的数都可以通不断归纳再分治的方式变得易于管理和识别。

这正是数学的意义。

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