归纳法：搞定无穷数列

天才小高斯

据说德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯在9岁时遇到一个问题：如何计算出1 + 2 + 3 + ...... + 99 + 100的值。

要是对数学不熟悉或者没有学过数列相关知识的话，可能会一个个相加。100、200，甚至300以内还能勉强这样做，但如果要从1加到1亿，就不可能继续用这种土办法了。

人家高斯到底是个天才，他没有像普通人一样一个个加，而是这么想的。

• 1 + 2 + 3 + ...... + 99 + 100和100 + 99 + 98 + ...... + 2 + 1这两者的值肯定是相等的。

• 把它们相加除以2不就是1 + 2 + 3 + ...... + 99 + 100的和吗？

从1加到100的值

所以，一个求数列的问题就变成了计算面积的问题。

为什么是面积？

因为单个1 + 2 + 3 + ...... + 99 + 100可以用数字阶梯来表示，就像下面这样。

数字阶梯

而两个数字阶梯，就可以组合成一个长方形。

将两个阶梯组合成长方形

求1 + 2 + 3 + ...... + 99 + 100的值，就变成了计算黄色部分方块的面积了，真是太巧妙了。

所以它的公式用肉眼就能看出来：${\displaystyle \frac{(1+100)\times 100}{2}}$。

这就是数列计算公式${\displaystyle \frac{(1+n)\times n}{2}}$的由来——现在终于知道为什么要除以2了，因为就是只计算一半的面积。

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