集合、映射与函数

• 集合的关键点：确定性、互异性、无序性。

  • 数集：集合中的元素是数字，例如，{$1,2,3,......$}。

  • 点集：集合中的元素是坐标，例如，{$(x,y)|x+y>1$}、{$(x,y)|x^2+y^2>1$}等。 ​

  • 集合之间的关系与运算，一般用$f:A\to B$表示。

• 映射表示两个非空集合的元素之间的对应关系。

  • 像所组成的集合就是值域。

  • 三要素：定义域（$D_f=A$），值域（$R_f\subset B$）和对应法则（元素$a$的像$b$唯一，但元素$b$的原像$a$不一定唯一）。

  • 单射：$a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$。

  • 满射：$R_f=B$。

  • 双射：又称对射或一一映射，它既是单射，又是满射。

  • 逆映射：$g:B\to A$，规定$b\in B$，$g(b)=a$，则$a$满足$f(a)=b$，记为$f^{-1}$，定义域为$D_{f^{-1}}=B$，值域为$R_{f^{-1}}=A$。

• 函数是一种特殊的映射，它有几个比较重要的特性。

  • 单调性：表示函数值Y是不断增加还是不断减少，与之对应的是增减区间。

  • 奇偶性：表示函数值Y是关于原点对称（$f(-x)=-f(x)$），还是关于Y轴对称（$f(-x)=f(x)$）。

  • 周期性：表示函数值Y是不是会周期性出现，也就是存在正数$t$，使得对于任意$x$，$f(x\pm t)=f(x)$都成立。

  • 极值：最大值、最小值、极大值、极小值。

• 基本初等函数是所有函数的基本盘。

  • 幂函数：例如，$y=x^{\alpha }(\alpha \in R,x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty }),y\in (0,+\mathrm{\infty }))$。

    • 一次函数：例如，$y=ax+b(a\ne 0,x\in R)$。

    • 二次函数：例如，$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0,x\in R)$，顶点式为$y=a(x-m{)}^2+n(a\ne 0,x\in R)$。

      • $a>0$时开口向上，先单调递减，后单调递增，最小值为${\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}$。

      • $a<0$时开口向下，先单调递增，后单调递减，最大值为${\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}$。

  • 指数函数：例如，$y=a^x(a>0,\mathrm{且}a\ne 1,x\in R,y\in (0,+\mathrm{\infty }))$。

  • 对数函数：例如，$y=lo{g}_{a}x(a>0,\mathrm{且}a\ne 1,x\in (0,+\mathrm{\infty }),y\in R)$。

  • 三角函数：例如，$y=asin(\omega x+\phi )(a>0,T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }},y\in [-\left|a\right|,\left|a\right|])$等。

  • 反三角函数：例如，$y=arcsin(x)$等。

  • 常数函数：例如，$y=a(a\in R)$。

• 初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合运算所产生、并且在定义域上能用单个方程式表示的函数。

• 参数方程是一种特殊的函数，通过引入参数，简化自变量x与因变量y的关系。例如， $\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$ 。

• 极坐标系是一种特殊的参数方程，这种坐标系中的任意位置可由一个夹角和一段相对原点（极点）的距离来表示。例如， $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 。

函数应用

假定贷款额为M，月利率为a，还款周期为n个月，那么按照等额本息和等额本金的还款方式，每月应还款的额度x分别是多少？

• 等额本息还款方式。

  • 第一次还款后剩余额度：$M(1+a)-x$。

  • 第二次还款后剩余额度：$(M(1+a)-x)(1+a)-x=M(1+a{)}^2-x(1+a)-x$。

  • 第三次还款后剩余额度：$M(1+a{)}^3-x(1+a{)}^2-x(1+a)-x$。

  • ......

  • 第n次还款后剩余额度：$M(1+a{)}^n-x(1+a{)}^{n-1}-\cdots -x(1+a)-x$。

  • 整理后得到等比数列的求和公式：$M(1+a{)}^n-x{\displaystyle \frac{(1+a{)}^n-1}{a}}=0$。

  • 所以，每月还款额是：$x={\displaystyle \frac{M(1+a{)}^n·a}{(1+a{)}^n-1}}$，总利息应该是：$nx-M={\displaystyle \frac{n·M(1+a{)}^{n}a}{(1+a{)}^n-1}}-M$。

• 等额本金还款方式。

  • 第一次还款额度：${\displaystyle \frac{M}{n}}+M·a$。

  • 第二次还款额度：${\displaystyle \frac{M}{n}}+M(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})a$。

  • 第二次还款额度：${\displaystyle \frac{M}{n}}+M(1-{\displaystyle \frac{2}{n}})a$。

  • ......

  • 第n次还款额度：${\displaystyle \frac{M}{n}}+M(1-{\displaystyle \frac{n-1}{n}})a$。

  • 每次还款递减量：${\displaystyle \frac{M}{n}}a$。

  • 所以，还款总额是：${\displaystyle \frac{M·a(n+1)}{2}}+M$，总利息应该是：${\displaystyle \frac{M·a(n+1)}{2}}$。

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