微分方程

微分方程求得的解并不是某个具体的数值，而是函数。

利用Python求微分方程的通解。

from sympy import *

x = symbols('x')
f = symbols('f', cls=Function)

# 求微分方程通解
diffeq = Eq(f(x).diff(x), 2 * x)

print(dsolve(diffeq, f(x)))

利用Python实现欧拉法。

# 实现：y' = -2 * x * y, x0 = 1, y0 = 1/e, y = exp(-x * x)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# 定义区间
a = 1
b = 5
# 定义初值
x0 = 1
y0 = 1 / math.e
# 迭代步长
n = 50
h = (b - a) / n
# 保存迭代过程产生的数值
y = []
y.append(y0)
# 将自变量离散化
x = np.arange(a, b, h)

# 迭代过程
for i in x:
    tmpy = y0 - 2 * i * y0 * h
    y.append(tmpy)
    y0 = tmpy

# 求解精确解
x1 = np.arange(a, b + h, h)
y1 = math.e ** (-x1 * x1)

plt.plot(x1, y, lw=3, label="欧拉值")
plt.plot(x1, y1, lw=3, label="精确值")
plt.legend()
plt.show()

利用Python实现龙格-库塔法。

# 实现：y' = -2 * x * y, x0 = 1, y0 = 1/e, y = exp(-x*x)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
from scipy.integrate import odeint

# 定义区间
a = 1
b = 5
# 定义初值
x0 = 1
y0 = 1 / math.e
# 迭代步长
n = 50
h = (b - a) / n
# 保存迭代过程产生的数值
y = []
y.append(y0)
# 将自变量离散化
x = np.arange(a, b, h)

# 迭代过程
for i in x:
    k1 = h * (-2 * i * y0)
    k2 = h * (-2 * (i + 0.5 * h) * (y0 + 0.5 * k1))
    k3 = h * (-2 * (i + 0.5 * h) * (y0 + 0.5 * k2))
    k4 = h * (-2 * (i + h) * (y0 + k3))
    tmpy = y0 + 1 / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
    y.append(tmpy)
    y0 = tmpy

# 求解精确解
x1 = np.arange(a, b + h, h)
y1 = math.e ** (-x1 * x1)

# 定义微分方程
def f(y, x):
    return -2 * x * y

y2 = odeint(f, 1 / math.e, x1)
plt.plot(x1, y, lw=3, label="runge-kutta_value")
plt.plot(x1, y1, lw=3, label="exact_value")
plt.plot(x1, y2, lw=3, label="ode_value")
plt.legend()
plt.show()

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