傅里叶变换

傅里叶变换提供了一种与传统的时域分析不同的频域分析的方法。

• 时域分析：就是以时间作为参照，观察自变量、因变量和函数的变化特征。

• 频域分析：就是从不同的角度来观察自变量、因变量和函数的变化特征。

简单来说，凡是那种可以通过不同视角解析并解决问题的方式，在广义上都可以称之为傅里叶变换。

反常积分是积分区间为无穷区间或被积函数无界的不定积分，也就是${\int }_m^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$，或${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{n}f(x)\mathrm{d}x$，或${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$。

若在$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$区间内$G^{\prime }(x)=f(x)$，则当$G(-\mathrm{\infty })$与$G(+\mathrm{\infty })$都存在时${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=[G(x){]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}$，当$G(-\mathrm{\infty })$与$G(+\mathrm{\infty })$有一个不存在时，${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$发散。

当$x\in [-\pi ,\pi ]$时，也就是自变量的周期为$2\pi$时的傅里叶级数如下。

• $A_0={\displaystyle \frac{{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(t)\mathrm{d}t}{2\pi }}={\displaystyle \frac{a_0}{2}}$。

• $a_n={\displaystyle \frac{{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t}{\pi }}(n=0,1,2,3,...)$。

• $b_n={\displaystyle \frac{{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t}{\pi }}(n=0,1,2,3,...)$。

则$f(t)={\displaystyle \frac{a_0}{2}}+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)]$称为函数$f(t)$的傅里叶级数，其中$a_n$和$b_n$为傅里叶系数。

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