无穷小与极限

一般概念

• 无穷小的定义（《高等数学（同济大学第七版）》）：如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \mathrm{\infty }$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷小。

• 无穷大的定义（《高等数学（同济大学第七版）》）。

  • 设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义（或$\left|x\right|$大于某一正数时有定义），

  • 如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），

  • 只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$\left|x\right|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式$|f(x)|>M$，

  • 那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大，记作$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$（或$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$）。

• 不管是无穷小还是无穷大，当$x\to x_0$时，它们都不需要$f(x_0)$有定义。

• 函数的极限定义如下（《高等数学（同济大学第七版）》）。

  • 函数的极限定义1。

    • 设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义, 如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（不论它多么小），

    • 总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$，

    • 那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$或$f(x)\to A$（当$x\to x_0$时）。

  • 函数的极限定义2。

    • 设函数$f(x)$当$\left|x\right|$大于某一正数时有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（不论它多么小），

    • 总存在正数$X$, 使得当$x$满足不等式$\left|x\right|>X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$，

    • 那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \mathrm{\infty }$时的极限，记作$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$或$f(x)\to A$（当$x\to \mathrm{\infty }$）。

• 理解极限的关键点。

  • 理解去心邻域。

  • 趋近具有方向性。

  • 趋近的动态过程需要有邻域保证。

  • 孤立的点不存在邻域。

  • 极限是否存在与该点上的函数值$f(x)$无关。

极限应用

新龟兔赛跑：一只乌龟想要超过静止不动的兔子（假设兔子一直都在且不会饿死），它和兔子之间相距100米。乌龟第一天前进50米，第二天前进25米，今后每一天都只能前进昨天的一半。乌龟可以超过兔子吗？

答案是永远不能。

因为这又是一个等比数列：50, 25, 12.5, ......, $50·({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^{n-1}$。

它的求和公式是${\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}·a_1$。

n天后一共跳了${\displaystyle \frac{1-{0.5}^n}{1-0.5}}·50$米，也就是$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1-{0.5}^n}{1-0.5}}·50=100$。

• 如果第一天前进49.999999999999999米，最后能超过兔子吗？

• 如果第一天前进50米，最后能超过兔子吗？

• 如果第一天前进50.000000000000000000001米，最后能超过兔子吗？

所以，数学上的极限揭示了一个真理：比自己的极限多做那么一丁点，最后的结果会完全不一样。

极限准则

假设有四家银行，按照收益结算：A银行五年期利率为100%，B银行年利率为20%，C银行季度利率为5%，D银行月利率为${\displaystyle \frac{5\mathrm{\%}}{3}}$，那么按照五年期计算，它们的整体收益率分别如下。

• A银行：$1·(1+1)=2$。

• B银行：$1·(1+0.2{)}^5=2.48832$。

• C银行：$1·(1+0.05{)}^{20}=2.6533$。

• D银行：$1·(1+{\displaystyle \frac{0.05}{3}}{)}^{60}=2.6960$。

虽然收益不同，但趋向是逐渐放缓的。

也就是说，如果结算期被划分为无穷小，那么收益的极限值是多少？可以用如下公式来表示它。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n=?$

这就需要用到两个重要的极限准则。

• 极限准则一：夹逼准则。

  • 如果数列$\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$及$\left\{z_n\right\}$满足下列条件。

    （1）从某项起，即$\mathrm{\exists }{n}_0\in N$，当$n>n_0$时，有$y_n\le x_n\le z_n$。

    （2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$。

  • 那么数列$\left\{x_n\right\}$的极限存在，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$。

• 极限准则二：单调有界数列必有极限。

  • 如果数列$\left\{x_n\right\}$满足条件$x_1\le x_2\le x_3\le ...\le x_n\le x_{n+1}\le ...$，就称数列$\left\{x_n\right\}$是单调增加的。

  • 如果数列$\left\{x_n\right\}$满足条件$x_1\ge x_2\ge x_3\ge ...\ge x_n\ge x_{n+1}\ge ...$，就称数列$\left\{x_n\right\}$是单调减少的。

  • 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

最终，通过证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n$的单调性和有界性，得到它的值是一个欧拉数$e=2.718281828459045...$。

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x=e=\underset{y\to 0}{lim}(1+y{)}^{{\displaystyle \frac{1}{y}}}$

所以，即使按照秒来计算，A、B、C、D四家银行的五年期最大收益率也不会超过3。

函数连续性

函数在某个点$x_0$的连续性判定规则：左极限 = 右极限 = $f(x_0)$。

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

另外，抽样函数（$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{sin(x)}{x}}$）及其傅里叶变换在计算机视觉上有大量应用。

抽样函数主要作用是通过傅里叶变换将三角函数模拟成矩形波，求得问题的近似解。

题外话

无穷大与无穷小虽然都和极限相关，但无穷小对数学的发展影响更大——因为从牛顿、莱布尼茨在微积分中引用无穷小的概念开始，直到卡尔·维尔斯特拉斯构建出严格的极限定义，并据此奠定了微积分大厦的基础为止，整整经过了200多年和六代人的努力。

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