傅里叶变换提供了一种与传统的时域分析不同的频域分析的方法。

所谓极大似然估计，指的是模型已定，但参数尚未确定的情况下，找到准确参数的一种方法，它是继拟合之后的另一种方法。

微分方程求得的解并不是某个具体的数值，而是函数。

利用Python求微分方程的通解。

from sympy import *

x = symbols('x')
f = symbols('f', cls=Function)

# 求微分方程通解
diffeq = Eq(f(x).diff(x), 2 * x)

print(dsolve(diffeq, f(x)))

数据之间的关系可以由具体参数未知的某种函数或者方程来近似地表示，求得这些未知参数的方式就被称为拟合。

用简单的大白话来说就是用曲线来串联起采样或实验过程中得到的若干离散数据点，然后再用方程来表示它们，以求得更一般的规律。

在上面的图中，黑色的点为原始采样数据。

不定积分

在某个定义区间上，如果或，则称为的一个原函数。

函数带有任意常数项的原函数称为的不定积分，记为。也就是说，带有任意常数项的原函数求导之后就变成了。

• 第一类换元积分：令，则。

• 第二类换元积分：令单调可导，具有原函数，则。

空间方程

若，，，。

那么向量的线性运算规则如下。

• 。

• ，。

• 向量的模：。

• 数量积

  • 。

  • 。

空间平面方程的一般形式是：。

导数的意义

导数的本质是反映割线经过某一点时其斜率的变化情况：。

一般概念

• 无穷小的定义（《高等数学（同济大学第七版）》）：如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小。

• 无穷大的定义（《高等数学（同济大学第七版）》）。

  • 设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），

  • 如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），

  • 只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，

  • 那么称函数是当（或）时的无穷大，记作（或）。

• 不管是无穷小还是无穷大，当时，它们都不需要有定义。

• 函数的极限定义如下（《高等数学（同济大学第七版）》）。

  • 函数的极限定义1。

    • 设函数在点的某一去心邻域内有定义, 如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），

    • 总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，

    • 那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当时）。

  • 函数的极限定义2。

    • 设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），

    • 总存在正数, 使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，

    • 那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。

• 理解极限的关键点。

  • 理解去心邻域。

  • 趋近具有方向性。

  • 趋近的动态过程需要有邻域保证。

  • 孤立的点不存在邻域。

  • 极限是否存在与该点上的函数值无关。

在人工智能领域中，下面的两类问题会大量用到与微积分相关的数学知识。

• 神经网络中的反向传播算法通过链式求导法则计算各种函数（激活函数、损失函数、优化函数等）对每个权重的偏导数，从而更新网络中的权重。

• 梯度下降则是一种用于寻找函数极值的优化算法，它利用导数的特性来确定问题的优化方向。

• 集合的关键点：确定性、互异性、无序性。

  • 数集：集合中的元素是数字，例如，{}。

  • 点集：集合中的元素是坐标，例如，{}、{}等。 ​

  • 集合之间的关系与运算，一般用表示。

• 映射表示两个非空集合的元素之间的对应关系。

  • 像所组成的集合就是值域。

  • 三要素：定义域（），值域（）和对应法则（元素的像唯一，但元素的原像不一定唯一）。

  • 单射：。

  • 满射：。

  • 双射：又称对射或一一映射，它既是单射，又是满射。

  • 逆映射：，规定，，则满足，记为，定义域为，值域为。

• 函数是一种特殊的映射，它有几个比较重要的特性。

  • 单调性：表示函数值Y是不断增加还是不断减少，与之对应的是增减区间。

  • 奇偶性：表示函数值Y是关于原点对称（），还是关于Y轴对称（）。

  • 周期性：表示函数值Y是不是会周期性出现，也就是存在正数，使得对于任意，都成立。

  • 极值：最大值、最小值、极大值、极小值。

• 基本初等函数是所有函数的基本盘。

  • 幂函数：例如，。

    • 一次函数：例如，。

    • 二次函数：例如，，顶点式为。

      • 时开口向上，先单调递减，后单调递增，最小值为。

      • 时开口向下，先单调递增，后单调递减，最大值为。

  • 指数函数：例如，。

  • 对数函数：例如，。

  • 三角函数：例如，等。

  • 反三角函数：例如，等。

  • 常数函数：例如，。

• 初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合运算所产生、并且在定义域上能用单个方程式表示的函数。

• 参数方程是一种特殊的函数，通过引入参数，简化自变量x与因变量y的关系。例如， 。

• 极坐标系是一种特殊的参数方程，这种坐标系中的任意位置可由一个夹角和一段相对原点（极点）的距离来表示。例如， 。